Resolver {l}{x+y=125}{x=2y-10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 125 } \\ { x = 2 y - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=80$$

$$y=45$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=-10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=125,x-2y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=125$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+125$$

Substitúe x por -y+125 na outra ecuación, x-2y=-10.

$$-y+125-2y=-10$$

Suma -y a -2y.

$$-3y+125=-10$$

Resta 125 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-135$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=45$$

Substitúe y por 45 en x=-y+125. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-45+125$$

Suma 125 a -45.

$$x=80$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=80,y=45$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=-10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=125,x-2y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}125\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 125+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 125-\frac{1}{3}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\45\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=80,y=45$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=-10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=125,x-2y=-10$$

Resta x-2y=-10 de x+y=125 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+2y=125+10$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+2y=125+10$$

Suma y a 2y.

$$3y=125+10$$

Suma 125 a 10.

$$3y=135$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=45$$

Substitúe y por 45 en x-2y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times 45=-10$$

Multiplica -2 por 45.

$$x-90=-10$$

Suma 90 en ambos lados da ecuación.

$$x=80$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=80,y=45$$