Resolver {l}{x+y=111}{x-y=101}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 111 } \\ { x - y = 101 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=106$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=111,x-y=101$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=111$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+111$$

Substitúe x por -y+111 na outra ecuación, x-y=101.

$$-y+111-y=101$$

Suma -y a -y.

$$-2y+111=101$$

Resta 111 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+111. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+111$$

Suma 111 a -5.

$$x=106$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=106,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=111,x-y=101$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}111\\101\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}111\\101\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}111\\101\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}111\\101\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}111\\101\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}111\\101\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 111+\frac{1}{2}\times 101\\\frac{1}{2}\times 111-\frac{1}{2}\times 101\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}106\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=106,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=111,x-y=101$$

Resta x-y=101 de x+y=111 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+y=111-101$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+y=111-101$$

Suma y a y.

$$2y=111-101$$

Suma 111 a -101.

$$2y=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x-y=101. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-5=101$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=106$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=106,y=5$$