Resolver {l}{x+y=107}{4x+2y=284}hline0k

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 107 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \\ \hline 0 k \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=35$$

$$y=72$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=107$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+107$$

Substitúe x por -y+107 na outra ecuación, 4x+2y=284.

$$4\left(-y+107\right)+2y=284$$

Multiplica 4 por -y+107.

$$-4y+428+2y=284$$

Suma -4y a 2y.

$$-2y+428=284$$

Resta 428 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-144$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=72$$

Substitúe y por 72 en x=-y+107. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-72+107$$

Suma 107 a -72.

$$x=35$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=35,y=72$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-107+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 107-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\72\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=35,y=72$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=107,4x+2y=284$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4y=4\times 107,4x+2y=284$$

Simplifica.

$$4x+4y=428,4x+2y=284$$

Resta 4x+2y=284 de 4x+4y=428 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+4y-2y=428-284$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-2y=428-284$$

Suma 4y a -2y.

$$2y=428-284$$

Suma 428 a -284.

$$2y=144$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=72$$

Substitúe y por 72 en 4x+2y=284. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+2\times 72=284$$

Multiplica 2 por 72.

$$4x+144=284$$

Resta 144 en ambos lados da ecuación.

$$4x=140$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=35$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=35,y=72$$