Resolver {l}{x+y=100}{60x+70y=6300}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=70$$

$$y=30$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=100$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+100$$

Substitúe x por -y+100 na outra ecuación, 60x+70y=6300.

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

Multiplica 60 por -y+100.

$$-60y+6000+70y=6300$$

Suma -60y a 70y.

$$10y+6000=6300$$

Resta 6000 en ambos lados da ecuación.

$$10y=300$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x=-y+100. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-30+100$$

Suma 100 a -30.

$$x=70$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=70,y=30$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=70,y=30$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Para que x e 60x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 60 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

Simplifica.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

Resta 60x+70y=6300 de 60x+60y=6000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

Suma 60x a -60x. 60x e -60x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$60y-70y=6000-6300$$

Suma 60y a -70y.

$$-10y=6000-6300$$

Suma 6000 a -6300.

$$-10y=-300$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en 60x+70y=6300. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$60x+70\times 30=6300$$

Multiplica 70 por 30.

$$60x+2100=6300$$

Resta 2100 en ambos lados da ecuación.

$$60x=4200$$

Divide ambos lados entre 60.

$$x=70$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=70,y=30$$