Resolver {l}{x+y=10}{x*5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { x \times 5 = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x\times 5-y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=10$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+10$$

Substitúe x por -y+10 na outra ecuación, 5x-y=0.

$$5\left(-y+10\right)-y=0$$

Multiplica 5 por -y+10.

$$-5y+50-y=0$$

Suma -5y a -y.

$$-6y+50=0$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-50$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=\frac{25}{3}$$

Substitúe y por \frac{25}{3} en x=-y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{25}{3}+10$$

Suma 10 a -\frac{25}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x\times 5-y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10\\\frac{5}{6}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x\times 5-y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=10,5x-y=0$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5y=5\times 10,5x-y=0$$

Simplifica.

$$5x+5y=50,5x-y=0$$

Resta 5x-y=0 de 5x+5y=50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+5y+y=50$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+y=50$$

Suma 5y a y.

$$6y=50$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=\frac{25}{3}$$

Substitúe y por \frac{25}{3} en 5x-y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\frac{25}{3}=0$$

Suma \frac{25}{3} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{25}{3}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$