Resolver {l}{x+y=-6}{y=3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=-6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y-6$$

Substitúe x por -y-6 na outra ecuación, -3x+y=-2.

$$-3\left(-y-6\right)+y=-2$$

Multiplica -3 por -y-6.

$$3y+18+y=-2$$

Suma 3y a y.

$$4y+18=-2$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$4y=-20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=-y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-5\right)-6$$

Multiplica -1 por -5.

$$x=5-6$$

Suma -6 a 5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Resta -3x+y=-2 de x+y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+3x+y-y=-6+2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+3x=-6+2$$

Suma x a 3x.

$$4x=-6+2$$

Suma -6 a 2.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en -3x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3\left(-1\right)+y=-2$$

Multiplica -3 por -1.

$$3+y=-2$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-5$$