Resolver {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=-4$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y-4$$

Substitúe x por -y-4 na outra ecuación, -5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

Multiplica -5 por -y-4.

$$5y+20+y=2$$

Suma 5y a y.

$$6y+20=2$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$6y=-18$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-y-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

Multiplica -1 por -3.

$$x=3-4$$

Suma -4 a 3.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Resta -5x+y=2 de x+y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+5x=-4-2$$

Suma x a 5x.

$$6x=-4-2$$

Suma -4 a -2.

$$6x=-6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en -5x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

Multiplica -5 por -1.

$$5+y=2$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-3$$