Resolver {l}{x+6y=27}{7x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+6y=27$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$x=-6y+27$$

Substitúe x por -6y+27 na outra ecuación, 7x-3y=9.

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

Multiplica 7 por -6y+27.

$$-42y+189-3y=9$$

Suma -42y a -3y.

$$-45y+189=9$$

Resta 189 en ambos lados da ecuación.

$$-45y=-180$$

Divide ambos lados entre -45.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-6y+27. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6\times 4+27$$

Multiplica -6 por 4.

$$x=-24+27$$

Suma 27 a -24.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Para que x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

Simplifica.

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

Resta 7x-3y=9 de 7x+42y=189 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$42y+3y=189-9$$

Suma 42y a 3y.

$$45y=189-9$$

Suma 189 a -9.

$$45y=180$$

Divide ambos lados entre 45.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 7x-3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-3\times 4=9$$

Multiplica -3 por 4.

$$7x-12=9$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$7x=21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$