Resolver {l}{x+6y=19}{2x+2y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 19 } \\ { 2 x + 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+6y=19$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$x=-6y+19$$

Substitúe x por -6y+19 na outra ecuación, 2x+2y=18.

$$2\left(-6y+19\right)+2y=18$$

Multiplica 2 por -6y+19.

$$-12y+38+2y=18$$

Suma -12y a 2y.

$$-10y+38=18$$

Resta 38 en ambos lados da ecuación.

$$-10y=-20$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-6y+19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6\times 2+19$$

Multiplica -6 por 2.

$$x=-12+19$$

Suma 19 a -12.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6\times 2}&-\frac{6}{2-6\times 2}\\-\frac{2}{2-6\times 2}&\frac{1}{2-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 19+\frac{3}{5}\times 18\\\frac{1}{5}\times 19-\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 6y=2\times 19,2x+2y=18$$

Simplifica.

$$2x+12y=38,2x+2y=18$$

Resta 2x+2y=18 de 2x+12y=38 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+12y-2y=38-18$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-2y=38-18$$

Suma 12y a -2y.

$$10y=38-18$$

Suma 38 a -18.

$$10y=20$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x+2y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2\times 2=18$$

Multiplica 2 por 2.

$$2x+4=18$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=2$$