Resolver {l}{x+5y=1}{3x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+5y=1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=-5y+1$$

Substitúe x por -5y+1 na outra ecuación, 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

Multiplica 3 por -5y+1.

$$-15y+3+4y=4$$

Suma -15y a 4y.

$$-11y+3=4$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=1$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

Substitúe y por -\frac{1}{11} en x=-5y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

Multiplica -5 por -\frac{1}{11}.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

Suma 1 a \frac{5}{11}.

$$x=\frac{16}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

Simplifica.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

Resta 3x+4y=4 de 3x+15y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-4y=3-4$$

Suma 15y a -4y.

$$11y=3-4$$

Suma 3 a -4.

$$11y=-1$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-\frac{1}{11}$$

Substitúe y por -\frac{1}{11} en 3x+4y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

Multiplica 4 por -\frac{1}{11}.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

Suma \frac{4}{11} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{48}{11}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{16}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$