Resolver {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+5-3y=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2-2x=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$y-2x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=-5$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y-5$$

Substitúe x por 3y-5 na outra ecuación, -2x+y=2.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

Multiplica -2 por 3y-5.

$$-6y+10+y=2$$

Suma -6y a y.

$$-5y+10=2$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-8$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{8}{5}$$

Substitúe y por \frac{8}{5} en x=3y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

Multiplica 3 por \frac{8}{5}.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

Suma -5 a \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+5-3y=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2-2x=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$y-2x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+5-3y=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2-2x=0$$

Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$y-2x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

Simplifica.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

Resta -2x+y=2 de -2x+6y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-y=10-2$$

Suma 6y a -y.

$$5y=10-2$$

Suma 10 a -2.

$$5y=8$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{8}{5}$$

Substitúe y por \frac{8}{5} en -2x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

Resta \frac{8}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$