Resolver {l}{x+4y=7}{-7x-6y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { - 7 x - 6 y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=7,-7x-6y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=7$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+7$$

Substitúe x por -4y+7 na outra ecuación, -7x-6y=17.

$$-7\left(-4y+7\right)-6y=17$$

Multiplica -7 por -4y+7.

$$28y-49-6y=17$$

Suma 28y a -6y.

$$22y-49=17$$

Suma 49 en ambos lados da ecuación.

$$22y=66$$

Divide ambos lados entre 22.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-4y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 3+7$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=-12+7$$

Suma 7 a -12.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=7,-7x-6y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-6-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-6-4\left(-7\right)}&\frac{1}{-6-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{7}{22}&\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\times 7-\frac{2}{11}\times 17\\\frac{7}{22}\times 7+\frac{1}{22}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=7,-7x-6y=17$$

Para que x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-7x-7\times 4y=-7\times 7,-7x-6y=17$$

Simplifica.

$$-7x-28y=-49,-7x-6y=17$$

Resta -7x-6y=17 de -7x-28y=-49 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-7x+7x-28y+6y=-49-17$$

Suma -7x a 7x. -7x e 7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-28y+6y=-49-17$$

Suma -28y a 6y.

$$-22y=-49-17$$

Suma -49 a -17.

$$-22y=-66$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -7x-6y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x-6\times 3=17$$

Multiplica -6 por 3.

$$-7x-18=17$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=35$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=3$$