Resolver {l}{x+4y=41}{4x+5y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=41$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+41$$

Substitúe x por -4y+41 na outra ecuación, 4x+5y=65.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

Multiplica 4 por -4y+41.

$$-16y+164+5y=65$$

Suma -16y a 5y.

$$-11y+164=65$$

Resta 164 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-99$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-4y+41. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 9+41$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=-36+41$$

Suma 41 a -36.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

Simplifica.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

Resta 4x+5y=65 de 4x+16y=164 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$16y-5y=164-65$$

Suma 16y a -5y.

$$11y=164-65$$

Suma 164 a -65.

$$11y=99$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en 4x+5y=65. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\times 9=65$$

Multiplica 5 por 9.

$$4x+45=65$$

Resta 45 en ambos lados da ecuación.

$$4x=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=9$$