Resolver {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=7$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+7$$

Substitúe x por -3y+7 na outra ecuación, 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Multiplica 3 por -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Suma -9y a y.

$$-8y+21=17$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-4$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x=-3y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Multiplica -3 por \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Suma 7 a -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Simplifica.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Resta 3x+y=17 de 3x+9y=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-y=21-17$$

Suma 9y a -y.

$$8y=21-17$$

Suma 21 a -17.

$$8y=4$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en 3x+y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$