Resolver {l}{x+3y=26}{7x-2y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=26$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+26$$

Substitúe x por -3y+26 na outra ecuación, 7x-2y=44.

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

Multiplica 7 por -3y+26.

$$-21y+182-2y=44$$

Suma -21y a -2y.

$$-23y+182=44$$

Resta 182 en ambos lados da ecuación.

$$-23y=-138$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-3y+26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times 6+26$$

Multiplica -3 por 6.

$$x=-18+26$$

Suma 26 a -18.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Para que x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

Simplifica.

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

Resta 7x-2y=44 de 7x+21y=182 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$21y+2y=182-44$$

Suma 21y a 2y.

$$23y=182-44$$

Suma 182 a -44.

$$23y=138$$

Divide ambos lados entre 23.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 7x-2y=44. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-2\times 6=44$$

Multiplica -2 por 6.

$$7x-12=44$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$7x=56$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=6$$