Resolver {l}{x+3=y}{2y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = y } \\ { 2 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+3-y=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y+1-x=0$$

Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2y-x=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=-3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y-3$$

Substitúe x por y-3 na outra ecuación, -x+2y=-1.

$$-\left(y-3\right)+2y=-1$$

Multiplica -1 por y-3.

$$-y+3+2y=-1$$

Suma -y a 2y.

$$y+3=-1$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4-3$$

Suma -3 a -4.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+3-y=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y+1-x=0$$

Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2y-x=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-3\right)-1\\-3-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+3-y=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y+1-x=0$$

Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2y-x=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-\left(-y\right)=-\left(-3\right),-x+2y=-1$$

Simplifica.

$$-x+y=3,-x+2y=-1$$

Resta -x+2y=-1 de -x+y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+y-2y=3+1$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-2y=3+1$$

Suma y a -2y.

$$-y=3+1$$

Suma 3 a 1.

$$-y=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en -x+2y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\left(-4\right)=-1$$

Multiplica 2 por -4.

$$-x-8=-1$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-x=7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-4$$