Resolver {l}{x+2y=y-x}{x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = y - x } \\ { x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+2y-y=-x$$

Combina 2y e -y para obter y.

$$x+y=-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$x+y+x=0$$

Combina x e x para obter 2x.

$$2x+y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=0,x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=0$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Substitúe x por -\frac{y}{2} na outra ecuación, x+y=0.

$$-\frac{1}{2}y+y=0$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y=0$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{1}{2}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+2y-y=-x$$

Combina 2y e -y para obter y.

$$x+y=-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$x+y+x=0$$

Combina x e x para obter 2x.

$$2x+y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=0,x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+2y-y=-x$$

Combina 2y e -y para obter y.

$$x+y=-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$x+y+x=0$$

Combina x e x para obter 2x.

$$2x+y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=0,x+y=0$$

Resta x+y=0 de 2x+y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-x+y-y=0$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-x=0$$

Suma 2x a -x.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=0$$