Resolver {l}{x+2y=8}{x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} = 8.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=8$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+8$$

Substitúe x por -2y+8 na outra ecuación, x-3y=9.

$$-2y+8-3y=9$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y+8=9$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=1$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Substitúe y por -\frac{1}{5} en x=-2y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-\frac{1}{5}\right)+8$$

Multiplica -2 por -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{2}{5}+8$$

Suma 8 a \frac{2}{5}.

$$x=\frac{42}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

Resta x-3y=9 de x+2y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+2y+3y=8-9$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+3y=8-9$$

Suma 2y a 3y.

$$5y=8-9$$

Suma 8 a -9.

$$5y=-1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Substitúe y por -\frac{1}{5} en x-3y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\left(-\frac{1}{5}\right)=9$$

Multiplica -3 por -\frac{1}{5}.

$$x+\frac{3}{5}=9$$

Resta \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{42}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$