Resolver {l}{x+2y=7}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=7$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+7$$

Substitúe x por -2y+7 na outra ecuación, 3x-y=9.

$$3\left(-2y+7\right)-y=9$$

Multiplica 3 por -2y+7.

$$-6y+21-y=9$$

Suma -6y a -y.

$$-7y+21=9$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-12$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{12}{7}$$

Substitúe y por \frac{12}{7} en x=-2y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{12}{7}+7$$

Multiplica -2 por \frac{12}{7}.

$$x=-\frac{24}{7}+7$$

Suma 7 a -\frac{24}{7}.

$$x=\frac{25}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-y=9$$

Simplifica.

$$3x+6y=21,3x-y=9$$

Resta 3x-y=9 de 3x+6y=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+6y+y=21-9$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+y=21-9$$

Suma 6y a y.

$$7y=21-9$$

Suma 21 a -9.

$$7y=12$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{12}{7}$$

Substitúe y por \frac{12}{7} en 3x-y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-\frac{12}{7}=9$$

Suma \frac{12}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{75}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{25}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$