Resolver {l}{x+2y=5}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=5$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+5$$

Substitúe x por -2y+5 na outra ecuación, x-y=4.

$$-2y+5-y=4$$

Suma -2y a -y.

$$-3y+5=4$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-1$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitúe y por \frac{1}{3} en x=-2y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+5$$

Multiplica -2 por \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{2}{3}+5$$

Suma 5 a -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{13}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Resta x-y=4 de x+2y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+2y+y=5-4$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+y=5-4$$

Suma 2y a y.

$$3y=5-4$$

Suma 5 a -4.

$$3y=1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitúe y por \frac{1}{3} en x-y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{1}{3}=4$$

Suma \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{13}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$