Resolver {l}{x+2y=5}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=11$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=5,x+y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=5$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+5$$

Substitúe x por -2y+5 na outra ecuación, x+y=8.

$$-2y+5+y=8$$

Suma -2y a y.

$$-y+5=8$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-y=3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-2y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-3\right)+5$$

Multiplica -2 por -3.

$$x=6+5$$

Suma 5 a 6.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=5,x+y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{2}{1-2}\\-\frac{1}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+2\times 8\\5-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=11,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=5,x+y=8$$

Resta x+y=8 de x+2y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+2y-y=5-8$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-y=5-8$$

Suma 2y a -y.

$$y=5-8$$

Suma 5 a -8.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x+y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3=8$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=-3$$