Resolver {l}{x+2y=4}{y=2x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { y = 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=4$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+4$$

Substitúe x por -2y+4 na outra ecuación, -2x+y=7.

$$-2\left(-2y+4\right)+y=7$$

Multiplica -2 por -2y+4.

$$4y-8+y=7$$

Suma 4y a y.

$$5y-8=7$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$5y=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-2y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 3+4$$

Multiplica -2 por 3.

$$x=-6+4$$

Suma 4 a -6.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7$$

Simplifica.

$$-2x-4y=-8,-2x+y=7$$

Resta -2x+y=7 de -2x-4y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-4y-y=-8-7$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-y=-8-7$$

Suma -4y a -y.

$$-5y=-8-7$$

Suma -8 a -7.

$$-5y=-15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -2x+y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+3=7$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$