Resolver {l}{x+2y=3}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=3$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+3$$

Substitúe x por -2y+3 na outra ecuación, 5x-y=10.

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

Multiplica 5 por -2y+3.

$$-10y+15-y=10$$

Suma -10y a -y.

$$-11y+15=10$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-5$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{5}{11}$$

Substitúe y por \frac{5}{11} en x=-2y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

Multiplica -2 por \frac{5}{11}.

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

Suma 3 a -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{23}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

Simplifica.

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

Resta 5x-y=10 de 5x+10y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+y=15-10$$

Suma 10y a y.

$$11y=15-10$$

Suma 15 a -10.

$$11y=5$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=\frac{5}{11}$$

Substitúe y por \frac{5}{11} en 5x-y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

Suma \frac{5}{11} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{115}{11}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{23}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$