Resolver {l}{x+2y=3}{2x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 2 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=3$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+3$$

Substitúe x por -2y+3 na outra ecuación, 2x+5y=4.

$$2\left(-2y+3\right)+5y=4$$

Multiplica 2 por -2y+3.

$$-4y+6+5y=4$$

Suma -4y a 5y.

$$y+6=4$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-2y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-2\right)+3$$

Multiplica -2 por -2.

$$x=4+3$$

Suma 3 a 4.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 2}&-\frac{2}{5-2\times 2}\\-\frac{2}{5-2\times 2}&\frac{1}{5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 3-2\times 4\\-2\times 3+4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 3,2x+5y=4$$

Simplifica.

$$2x+4y=6,2x+5y=4$$

Resta 2x+5y=4 de 2x+4y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y-5y=6-4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-5y=6-4$$

Suma 4y a -5y.

$$-y=6-4$$

Suma 6 a -4.

$$-y=2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 2x+5y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\left(-2\right)=4$$

Multiplica 5 por -2.

$$2x-10=4$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$2x=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=-2$$