Resolver {l}{x+2y=16}{2x+3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 16 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-14$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=16$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+16$$

Substitúe x por -2y+16 na outra ecuación, 2x+3y=17.

$$2\left(-2y+16\right)+3y=17$$

Multiplica 2 por -2y+16.

$$-4y+32+3y=17$$

Suma -4y a 3y.

$$-y+32=17$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-15$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x=-2y+16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 15+16$$

Multiplica -2 por 15.

$$x=-30+16$$

Suma 16 a -30.

$$x=-14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-14,y=15$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 16+2\times 17\\2\times 16-17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\15\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-14,y=15$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 16,2x+3y=17$$

Simplifica.

$$2x+4y=32,2x+3y=17$$

Resta 2x+3y=17 de 2x+4y=32 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y-3y=32-17$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-3y=32-17$$

Suma 4y a -3y.

$$y=32-17$$

Suma 32 a -17.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en 2x+3y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times 15=17$$

Multiplica 3 por 15.

$$2x+45=17$$

Resta 45 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-28$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-14,y=15$$