Resolver {l}{x+2y=15}{x-2y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 15 } \\ { x - 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=15$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+15$$

Substitúe x por -2y+15 na outra ecuación, x-2y=-7.

$$-2y+15-2y=-7$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y+15=-7$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-22$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{11}{2}$$

Substitúe y por \frac{11}{2} en x=-2y+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{11}{2}+15$$

Multiplica -2 por \frac{11}{2}.

$$x=-11+15$$

Suma 15 a -11.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 15-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

Resta x-2y=-7 de x+2y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+2y+2y=15+7$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+2y=15+7$$

Suma 2y a 2y.

$$4y=15+7$$

Suma 15 a 7.

$$4y=22$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{11}{2}$$

Substitúe y por \frac{11}{2} en x-2y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times \frac{11}{2}=-7$$

Multiplica -2 por \frac{11}{2}.

$$x-11=-7$$

Suma 11 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$