Resolver {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=10$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+10$$

Substitúe x por -2y+10 na outra ecuación, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

Multiplica -2 por -2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

Suma 4y a 3y.

$$7y-20=5$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$7y=25$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Substitúe y por \frac{25}{7} en x=-2y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

Multiplica -2 por \frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Suma 10 a -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Simplifica.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Resta -2x+3y=5 de -2x-4y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-3y=-20-5$$

Suma -4y a -3y.

$$-7y=-20-5$$

Suma -20 a -5.

$$-7y=-25$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Substitúe y por \frac{25}{7} en -2x+3y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

Multiplica 3 por \frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Resta \frac{75}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{20}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$