Resolver {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+1$$

Substitúe x por -2y+1 na outra ecuación, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

Multiplica -4 por -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Suma 8y a y.

$$9y-4=-5$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$9y=-1$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Substitúe y por -\frac{1}{9} en x=-2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

Multiplica -2 por -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Suma 1 a \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Para que x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Simplifica.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

Resta -4x+y=-5 de -4x-8y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-y=-4+5$$

Suma -8y a -y.

$$-9y=-4+5$$

Suma -4 a 5.

$$-9y=1$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Substitúe y por -\frac{1}{9} en -4x+y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Suma \frac{1}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$