Resolver {l}{x+2y=1}{3x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+1$$

Substitúe x por -2y+1 na outra ecuación, 3x+y=0.

$$3\left(-2y+1\right)+y=0$$

Multiplica 3 por -2y+1.

$$-6y+3+y=0$$

Suma -6y a y.

$$-5y+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-3$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Substitúe y por \frac{3}{5} en x=-2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{3}{5}+1$$

Multiplica -2 por \frac{3}{5}.

$$x=-\frac{6}{5}+1$$

Suma 1 a -\frac{6}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 2y=3,3x+y=0$$

Simplifica.

$$3x+6y=3,3x+y=0$$

Resta 3x+y=0 de 3x+6y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+6y-y=3$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-y=3$$

Suma 6y a -y.

$$5y=3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Substitúe y por \frac{3}{5} en 3x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+\frac{3}{5}=0$$

Resta \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{3}{5}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{1}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$