Resolver {l}{x+2y=1}{-2x+y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=1$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+1$$

Substitúe x por -2y+1 na outra ecuación, -2x+y=-4.

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

Multiplica -2 por -2y+1.

$$4y-2+y=-4$$

Suma 4y a y.

$$5y-2=-4$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-2$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Substitúe y por -\frac{2}{5} en x=-2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

Multiplica -2 por -\frac{2}{5}.

$$x=\frac{4}{5}+1$$

Suma 1 a \frac{4}{5}.

$$x=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

Simplifica.

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

Resta -2x+y=-4 de -2x-4y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-y=-2+4$$

Suma -4y a -y.

$$-5y=-2+4$$

Suma -2 a 4.

$$-5y=2$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Substitúe y por -\frac{2}{5} en -2x+y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

Suma \frac{2}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$