Resolver {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{3}{2}x en ambos lados.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=-8$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y-8$$

Substitúe x por -2y-8 na outra ecuación, \frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

Multiplica \frac{3}{2} por -2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

Suma -3y a y.

$$-2y-12=-2$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=-2y-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

Multiplica -2 por -5.

$$x=10-8$$

Suma -8 a 10.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{3}{2}x en ambos lados.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{3}{2}x en ambos lados.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Para que x e \frac{3x}{2} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{3}{2} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

Simplifica.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

Resta \frac{3}{2}x+y=-2 de \frac{3}{2}x+3y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

Suma \frac{3x}{2} a -\frac{3x}{2}. \frac{3x}{2} e -\frac{3x}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-y=-12+2$$

Suma 3y a -y.

$$2y=-12+2$$

Suma -12 a 2.

$$2y=-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en \frac{3}{2}x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}x=3$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-5$$