Resolver {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$x+2y=-3$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y-3$$

Substitúe x por -2y-3 na outra ecuación, 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

Multiplica 4 por -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

Suma -8y a 5y.

$$-3y-12+6=0$$

Suma -12 a 6.

$$-3y-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-2y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

Multiplica -2 por -2.

$$x=4-3$$

Suma -3 a 4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

Simplifica.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

Resta 4x+5y+6=0 de 4x+8y+12=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-5y+12-6=0$$

Suma 8y a -5y.

$$3y+12-6=0$$

Suma 12 a -6.

$$3y+6=0$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 4x+5y+6=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

Multiplica 5 por -2.

$$4x-10+6=0$$

Suma -10 a 6.

$$4x-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$4x=4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-2$$