Resolver {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+15-y=0$$

Resta 15 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-15$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$4x-y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=-15$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y-15$$

Substitúe x por y-15 na outra ecuación, 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Multiplica 4 por y-15.

$$4y-60-y=0$$

Suma 4y a -y.

$$3y-60=0$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$3y=60$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en x=y-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=20-15$$

Suma -15 a 20.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=20$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+15-y=0$$

Resta 15 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-15$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$4x-y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=20$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+15-y=0$$

Resta 15 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-15$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$4x-y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Resta 4x-y=0 de x-y=-15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-4x-y+y=-15$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-4x=-15$$

Suma x a -4x.

$$-3x=-15$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en 4x-y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4\times 5-y=0$$

Multiplica 4 por 5.

$$20-y=0$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-20$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=20$$