Resolver {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

Resolver t, s

$$t=-7$$

$$s=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta t en ambos lados.

$$s-t=10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a t mediante o illamento de t no lado esquerdo do signo igual.

$$t+2s=-1$$

Resta 2s en ambos lados da ecuación.

$$t=-2s-1$$

Substitúe t por -2s-1 na outra ecuación, -t+s=10.

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

Multiplica -1 por -2s-1.

$$2s+1+s=10$$

Suma 2s a s.

$$3s+1=10$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$3s=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$s=3$$

Substitúe s por 3 en t=-2s-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar t directamente.

$$t=-2\times 3-1$$

Multiplica -2 por 3.

$$t=-6-1$$

Suma -1 a -6.

$$t=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$t=-7,s=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta t en ambos lados.

$$s-t=10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz t e s.

$$t=-7,s=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta t en ambos lados.

$$s-t=10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

Para que t e -t sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

Simplifica.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

Resta -t+s=10 de -t-2s=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

Suma -t a t. -t e t anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2s-s=1-10$$

Suma -2s a -s.

$$-3s=1-10$$

Suma 1 a -10.

$$-3s=-9$$

Divide ambos lados entre -3.

$$s=3$$

Substitúe s por 3 en -t+s=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar t directamente.

$$-t+3=10$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-t=7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$t=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$t=-7,s=3$$