Resolver {l}{s-t=3}{s/3+t/2=6}

$$\left. \begin{array} { l } { s - t = 3 } \\ { \frac { s } { 3 } + \frac { t } { 2 } = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver s, t

$$t=6$$

$$s=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a s mediante o illamento de s no lado esquerdo do signo igual.

$$s-t=3$$

Suma t en ambos lados da ecuación.

$$s=t+3$$

Substitúe s por t+3 na outra ecuación, \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6.

$$\frac{1}{3}\left(t+3\right)+\frac{1}{2}t=6$$

Multiplica \frac{1}{3} por t+3.

$$\frac{1}{3}t+1+\frac{1}{2}t=6$$

Suma \frac{t}{3} a \frac{t}{2}.

$$\frac{5}{6}t+1=6$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{6}t=5$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$t=6$$

Substitúe t por 6 en s=t+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar s directamente.

$$s=6+3$$

Suma 3 a 6.

$$s=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$s=9,t=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{6}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz s e t.

$$s=9,t=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Para que s e \frac{s}{3} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{3} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}\left(-1\right)t=\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Simplifica.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Resta \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6 de \frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

Suma \frac{s}{3} a -\frac{s}{3}. \frac{s}{3} e -\frac{s}{3} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

Suma -\frac{t}{3} a -\frac{t}{2}.

$$-\frac{5}{6}t=1-6$$

Suma 1 a -6.

$$-\frac{5}{6}t=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$t=6$$

Substitúe t por 6 en \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar s directamente.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}\times 6=6$$

Multiplica \frac{1}{2} por 6.

$$\frac{1}{3}s+3=6$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}s=3$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$s=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$s=9,t=6$$