Resolver {l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75}

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

Resolver p, b

$$p=55$$

$$b=75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a p mediante o illamento de p no lado esquerdo do signo igual.

$$p+b=130$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$p=-b+130$$

Substitúe p por -b+130 na outra ecuación, p+1.09b=136.75.

$$-b+130+1.09b=136.75$$

Suma -b a \frac{109b}{100}.

$$0.09b+130=136.75$$

Resta 130 en ambos lados da ecuación.

$$0.09b=6.75$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.09, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=75$$

Substitúe b por 75 en p=-b+130. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p=-75+130$$

Suma 130 a -75.

$$p=55$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=55,b=75$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz p e b.

$$p=55,b=75$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

Resta p+1.09b=136.75 de p+b=130 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

Suma p a -p. p e -p anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$b-1.09b=130-136.75$$

Suma b a -\frac{109b}{100}.

$$-0.09b=130-136.75$$

Suma 130 a -136.75.

$$-0.09b=-6.75$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.09, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=75$$

Substitúe b por 75 en p+1.09b=136.75. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p+1.09\times 75=136.75$$

Multiplica 1.09 por 75.

$$p+81.75=136.75$$

Resta 81.75 en ambos lados da ecuación.

$$p=55$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=55,b=75$$