Resolver {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a p mediante o illamento de p no lado esquerdo do signo igual.

$$p+2q=4$$

Resta 2q en ambos lados da ecuación.

$$p=-2q+4$$

Substitúe p por -2q+4 na outra ecuación, -3p+4q=18.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

Multiplica -3 por -2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

Suma 6q a 4q.

$$10q-12=18$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$10q=30$$

Divide ambos lados entre 10.

$$q=3$$

Substitúe q por 3 en p=-2q+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$p=-2\times 3+4$$

Multiplica -2 por 3.

$$p=-6+4$$

Suma 4 a -6.

$$p=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=-2,q=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz p e q.

$$p=-2,q=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Para que p e -3p sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

Simplifica.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

Resta -3p+4q=18 de -3p-6q=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

Suma -3p a 3p. -3p e 3p anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6q-4q=-12-18$$

Suma -6q a -4q.

$$-10q=-12-18$$

Suma -12 a -18.

$$-10q=-30$$

Divide ambos lados entre -10.

$$q=3$$

Substitúe q por 3 en -3p+4q=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar p directamente.

$$-3p+4\times 3=18$$

Multiplica 4 por 3.

$$-3p+12=18$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-3p=6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$p=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$p=-2,q=3$$