Resolver {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

$$m\neq -i\text{ and }m\neq i$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$mx-y+1-3m=0$$

Resta -3m+1 en ambos lados da ecuación.

$$mx-y=3m-1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$mx=y+3m-1$$

Divide ambos lados entre m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{m} por y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Substitúe x por \frac{y-1+3m}{m} na outra ecuación, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Suma \frac{y}{m} a my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Suma 3-\frac{1}{m} a -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Resta 2-\frac{1}{m}-3m en ambos lados da ecuación.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Divide ambos lados entre m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Substitúe y por \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} en x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Multiplica \frac{1}{m} por \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Suma 3-\frac{1}{m} a \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Para que mx e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Simplifica.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Resta mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 de mx-y+1-3m=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Suma mx a -mx. mx e -mx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Suma -y a -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Suma -3m+1 a m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Resta -2m+1+3m^{2} en ambos lados da ecuación.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Divide ambos lados entre -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Substitúe y por -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} en x+my-3m-1=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Multiplica m por -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Suma -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} a -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0$$

Suma \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$mx-y+1-3m=0$$

Resta -3m+1 en ambos lados da ecuación.

$$mx-y=3m-1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$mx=y+3m-1$$

Divide ambos lados entre m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{m} por y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Substitúe x por \frac{y-1+3m}{m} na outra ecuación, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Suma \frac{y}{m} a my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Suma 3-\frac{1}{m} a -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Resta 2-\frac{1}{m}-3m en ambos lados da ecuación.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Divide ambos lados entre m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Substitúe y por \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} en x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Multiplica \frac{1}{m} por \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Suma 3-\frac{1}{m} a \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Para que mx e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Simplifica.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Resta mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 de mx-y+1-3m=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Suma mx a -mx. mx e -mx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Suma -y a -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Suma -3m+1 a m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Resta -2m+1+3m^{2} en ambos lados da ecuación.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Divide ambos lados entre -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Substitúe y por -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} en x+my-3m-1=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Multiplica m por -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Suma -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} a -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Suma \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$