Resolver {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Suma ny en ambos lados da ecuación.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Divide ambos lados entre m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Multiplica \frac{1}{m} por ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Substitúe x por \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} na outra ecuación, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Suma \frac{ny}{m} a y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Resta m+\frac{n^{2}}{m} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Divide ambos lados entre \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Substitúe y por m-n en x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Multiplica \frac{n}{m} por m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Suma m+\frac{n^{2}}{m} a \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=m+n,y=m-n$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Para que mx e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Simplifica.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Resta mx+my=2m^{2} de mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suma mx a -mx. mx e -mx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suma -ny a -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suma m^{2}+n^{2} a -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Divide ambos lados entre -m-n.

$$y=m-n$$

Substitúe y por m-n en x+y=2m. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+m-n=2m$$

Resta m-n en ambos lados da ecuación.

$$x=m+n$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=m+n,y=m-n$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Suma ny en ambos lados da ecuación.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Divide ambos lados entre m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Multiplica \frac{1}{m} por ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Substitúe x por \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} na outra ecuación, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Suma \frac{ny}{m} a y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Resta m+\frac{n^{2}}{m} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Divide ambos lados entre \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Substitúe y por m-n en x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Multiplica \frac{n}{m} por m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Suma m+\frac{n^{2}}{m} a \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=m+n,y=m-n$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Para que mx e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Simplifica.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Resta mx+my=2m^{2} de mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suma mx a -mx. mx e -mx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suma -ny a -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Suma m^{2}+n^{2} a -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Divide ambos lados entre -m-n.

$$y=m-n$$

Substitúe y por m-n en x+y=2m. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+m-n=2m$$

Resta m-n en ambos lados da ecuación.

$$x=m+n$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=m+n,y=m-n$$