Resolver {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$m+n=1$$

Resta n en ambos lados da ecuación.

$$m=-n+1$$

Substitúe m por -n+1 na outra ecuación, -3m+2n=-2.

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

Multiplica -3 por -n+1.

$$3n-3+2n=-2$$

Suma 3n a 2n.

$$5n-3=-2$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$5n=1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$n=\frac{1}{5}$$

Substitúe n por \frac{1}{5} en m=-n+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

Suma 1 a -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Para que m e -3m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

Resta -3m+2n=-2 de -3m-3n=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

Suma -3m a 3m. -3m e 3m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3n-2n=-3+2$$

Suma -3n a -2n.

$$-5n=-3+2$$

Suma -3 a 2.

$$-5n=-1$$

Divide ambos lados entre -5.

$$n=\frac{1}{5}$$

Substitúe n por \frac{1}{5} en -3m+2n=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

Multiplica 2 por \frac{1}{5}.

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

Resta \frac{2}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$m=\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$