Resolver {l}{m+5n=15}{2/5m-n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 5 n = 15 } \\ { \frac { 2 } { 5 } m - n = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=10$$

$$n=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$m+5n=15$$

Resta 5n en ambos lados da ecuación.

$$m=-5n+15$$

Substitúe m por -5n+15 na outra ecuación, \frac{2}{5}m-n=3.

$$\frac{2}{5}\left(-5n+15\right)-n=3$$

Multiplica \frac{2}{5} por -5n+15.

$$-2n+6-n=3$$

Suma -2n a -n.

$$-3n+6=3$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-3n=-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$n=1$$

Substitúe n por 1 en m=-5n+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-5+15$$

Suma 15 a -5.

$$m=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=10,n=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}&-\frac{5}{-1-5\times \frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-1-5\times \frac{2}{5}}&\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{15}\times 15-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=10,n=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Para que m e \frac{2m}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{2}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}\times 5n=\frac{2}{5}\times 15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Simplifica.

$$\frac{2}{5}m+2n=6,\frac{2}{5}m-n=3$$

Resta \frac{2}{5}m-n=3 de \frac{2}{5}m+2n=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{2}{5}m-\frac{2}{5}m+2n+n=6-3$$

Suma \frac{2m}{5} a -\frac{2m}{5}. \frac{2m}{5} e -\frac{2m}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2n+n=6-3$$

Suma 2n a n.

$$3n=6-3$$

Suma 6 a -3.

$$3n=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$n=1$$

Substitúe n por 1 en \frac{2}{5}m-n=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$\frac{2}{5}m-1=3$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{5}m=4$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$m=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=10,n=1$$