Resolver {l}{m+3=8n}{m+4n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 3 = 8 n } \\ { m + 4 n = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=3$$

$$n=\frac{3}{4}=0.75$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 8n en ambos lados.

$$m+3-8n=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$m-8n=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$m-8n=-3$$

Suma 8n en ambos lados da ecuación.

$$m=8n-3$$

Substitúe m por 8n-3 na outra ecuación, m+4n=6.

$$8n-3+4n=6$$

Suma 8n a 4n.

$$12n-3=6$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$12n=9$$

Divide ambos lados entre 12.

$$n=\frac{3}{4}$$

Substitúe n por \frac{3}{4} en m=8n-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=8\times \frac{3}{4}-3$$

Multiplica 8 por \frac{3}{4}.

$$m=6-3$$

Suma -3 a 6.

$$m=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 8n en ambos lados.

$$m+3-8n=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$m-8n=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{4-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-8\right)}&\frac{1}{4-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{12}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 8n en ambos lados.

$$m+3-8n=0$$

Resta 3 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$m-8n=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Resta m+4n=6 de m-8n=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$m-m-8n-4n=-3-6$$

Suma m a -m. m e -m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8n-4n=-3-6$$

Suma -8n a -4n.

$$-12n=-3-6$$

Suma -3 a -6.

$$-12n=-9$$

Divide ambos lados entre -12.

$$n=\frac{3}{4}$$

Substitúe n por \frac{3}{4} en m+4n=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m+4\times \frac{3}{4}=6$$

Multiplica 4 por \frac{3}{4}.

$$m+3=6$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$m=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$