Resolver {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=-1$$

$$n=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$m+2n=5$$

Resta 2n en ambos lados da ecuación.

$$m=-2n+5$$

Substitúe m por -2n+5 na outra ecuación, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

Multiplica -2 por -2n+5.

$$4n-10+n+2=7$$

Suma 4n a n.

$$5n-10+2=7$$

Suma -10 a 2.

$$5n-8=7$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$5n=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$n=3$$

Substitúe n por 3 en m=-2n+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-2\times 3+5$$

Multiplica -2 por 3.

$$m=-6+5$$

Suma 5 a -6.

$$m=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=-1,n=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=-1,n=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Para que m e -2m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

Simplifica.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

Resta -2m+n+2=7 de -2m-4n=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

Suma -2m a 2m. -2m e 2m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4n-n-2=-10-7$$

Suma -4n a -n.

$$-5n-2=-10-7$$

Suma -10 a -7.

$$-5n-2=-17$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-5n=-15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$n=3$$

Substitúe n por 3 en -2m+n+2=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$-2m+3+2=7$$

Suma 3 a 2.

$$-2m+5=7$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-2m=2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$m=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=-1,n=3$$