Resolver {l}{k+b=2}{-2k+b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { k + b = 2 } \\ { - 2 k + b = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver k, b

$$k=1$$

$$b=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$k+b=2,-2k+b=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$k+b=2$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$k=-b+2$$

Substitúe k por -b+2 na outra ecuación, -2k+b=-1.

$$-2\left(-b+2\right)+b=-1$$

Multiplica -2 por -b+2.

$$2b-4+b=-1$$

Suma 2b a b.

$$3b-4=-1$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3b=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$b=1$$

Substitúe b por 1 en k=-b+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-1+2$$

Suma 2 a -1.

$$k=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=1,b=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$k+b=2,-2k+b=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e b.

$$k=1,b=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$k+b=2,-2k+b=-1$$

Resta -2k+b=-1 de k+b=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$k+2k+b-b=2+1$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$k+2k=2+1$$

Suma k a 2k.

$$3k=2+1$$

Suma 2 a 1.

$$3k=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$k=1$$

Substitúe k por 1 en -2k+b=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$-2+b=-1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$b=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=1,b=1$$