Resolver {l}{h=2c-3}{201=3h+1.5c}

$$\left. \begin{array} { l } { h = 2 c - 3 } \\ { 201 = 3 h + 1.5 c } \end{array} \right.$$

Resolver h, c

$$h=53$$

$$c=28$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2c en ambos lados.

$$h-2c=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3h+1.5c=201$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$h-2c=-3,3h+1.5c=201$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a h mediante o illamento de h no lado esquerdo do signo igual.

$$h-2c=-3$$

Suma 2c en ambos lados da ecuación.

$$h=2c-3$$

Substitúe h por 2c-3 na outra ecuación, 3h+1.5c=201.

$$3\left(2c-3\right)+1.5c=201$$

Multiplica 3 por 2c-3.

$$6c-9+1.5c=201$$

Suma 6c a \frac{3c}{2}.

$$7.5c-9=201$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$7.5c=210$$

Divide ambos lados da ecuación entre 7.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$c=28$$

Substitúe c por 28 en h=2c-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar h directamente.

$$h=2\times 28-3$$

Multiplica 2 por 28.

$$h=56-3$$

Suma -3 a 56.

$$h=53$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$h=53,c=28$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2c en ambos lados.

$$h-2c=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3h+1.5c=201$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$h-2c=-3,3h+1.5c=201$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.5}{1.5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{1.5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{1.5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{1.5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2&\frac{4}{15}\\-0.4&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2\left(-3\right)+\frac{4}{15}\times 201\\-0.4\left(-3\right)+\frac{2}{15}\times 201\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\28\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz h e c.

$$h=53,c=28$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2c en ambos lados.

$$h-2c=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3h+1.5c=201$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$h-2c=-3,3h+1.5c=201$$

Para que h e 3h sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3h+3\left(-2\right)c=3\left(-3\right),3h+1.5c=201$$

Simplifica.

$$3h-6c=-9,3h+1.5c=201$$

Resta 3h+1.5c=201 de 3h-6c=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3h-3h-6c-1.5c=-9-201$$

Suma 3h a -3h. 3h e -3h anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6c-1.5c=-9-201$$

Suma -6c a -\frac{3c}{2}.

$$-7.5c=-9-201$$

Suma -9 a -201.

$$-7.5c=-210$$

Divide ambos lados da ecuación entre -7.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$c=28$$

Substitúe c por 28 en 3h+1.5c=201. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar h directamente.

$$3h+1.5\times 28=201$$

Multiplica 1.5 por 28.

$$3h+42=201$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$3h=159$$

Divide ambos lados entre 3.

$$h=53$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$h=53,c=28$$