Resolver {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$fx-y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$fy-9x=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$fx-y=7$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$fx=y+7$$

Divide ambos lados entre f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{f} por y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Substitúe x por \frac{7+y}{f} na outra ecuación, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Multiplica -9 por \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Suma -\frac{9y}{f} a fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Suma \frac{63}{f} en ambos lados da ecuación.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Divide ambos lados entre f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Substitúe y por \frac{63+8f}{f^{2}-9} en x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Multiplica \frac{1}{f} por \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Suma \frac{7}{f} a \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$fx-y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$fy-9x=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$fx-y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$fy-9x=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Para que fx e -9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Simplifica.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Resta \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f de \left(-9f\right)x+9y=-63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suma -9fx a 9fx. -9fx e 9fx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suma 9y a -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suma -63 a -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Divide ambos lados entre -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Substitúe y por -\frac{63+8f}{9-f^{2}} en -9x+fy=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Multiplica f por -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Suma \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} en ambos lados da ecuación.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Resolver x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$fx-y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$fy-9x=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$fx-y=7$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$fx=y+7$$

Divide ambos lados entre f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{f} por y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Substitúe x por \frac{7+y}{f} na outra ecuación, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Multiplica -9 por \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Suma -\frac{9y}{f} a fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Suma \frac{63}{f} en ambos lados da ecuación.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Divide ambos lados entre f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Substitúe y por \frac{63+8f}{f^{2}-9} en x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Multiplica \frac{1}{f} por \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Suma \frac{7}{f} a \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$fx-y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$fy-9x=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$fx-y=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$fy-9x=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Para que fx e -9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Simplifica.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Resta \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f de \left(-9f\right)x+9y=-63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suma -9fx a 9fx. -9fx e 9fx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suma 9y a -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Suma -63 a -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Divide ambos lados entre -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Substitúe y por -\frac{63+8f}{9-f^{2}} en -9x+fy=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Multiplica f por -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Suma \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} en ambos lados da ecuación.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$