Resolver {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$cx+y=69$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$cx=-y+69$$

Divide ambos lados entre c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

Multiplica \frac{1}{c} por -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Substitúe x por \frac{69-y}{c} na outra ecuación, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

Multiplica 2 por \frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Suma -\frac{2y}{c} a y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Resta \frac{138}{c} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Divide ambos lados entre \frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Substitúe y por \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} en x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

Multiplica -\frac{1}{c} por \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Suma \frac{69}{c} a -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Resta 2x+y=87 de cx+y=69 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$cx-2x=69-87$$

Suma cx a -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Suma 69 a -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Divide ambos lados entre c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Substitúe x por -\frac{18}{c-2} en 2x+y=87. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

Multiplica 2 por -\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Suma \frac{36}{c-2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$