Resolver {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$12bx-15y=-4$$

Suma 15y en ambos lados da ecuación.

$$12bx=15y-4$$

Divide ambos lados entre 12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{12b} por 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Substitúe x por \frac{-4+15y}{12b} na outra ecuación, 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

Multiplica 16 por \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Suma \frac{20y}{b} a 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Suma \frac{16}{3b} en ambos lados da ecuación.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Divide ambos lados entre \frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Substitúe y por \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} en x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Multiplica \frac{5}{4b} por \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Suma -\frac{1}{3b} a \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Para que 12bx e 16x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 16 e todos os termos a cada lado da segunda por 12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Simplifica.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Resta 192bx+120by=84b de 192bx-240y=-64 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Suma 192bx a -192bx. 192bx e -192bx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Suma -240y a -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Suma -64 a -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Divide ambos lados entre -240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Substitúe y por \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} en 16x+10y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

Multiplica 10 por \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Resta \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} en ambos lados da ecuación.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$