Resolver {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$ax+by=c$$

Resta by en ambos lados da ecuación.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Divide ambos lados entre a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Multiplica \frac{1}{a} por -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Substitúe x por \frac{-by+c}{a} na outra ecuación, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Multiplica a^{2} por \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Suma -bay a b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Resta ca en ambos lados da ecuación.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Divide ambos lados entre b\left(b-a\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Substitúe y por \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} en x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Multiplica -\frac{b}{a} por \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Suma \frac{c}{a} a -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Para que ax e a^{2}x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por a^{2} e todos os termos a cada lado da segunda por a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Simplifica.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Resta a^{3}x+ab^{2}y=ac de a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Suma a^{3}x a -a^{3}x. a^{3}x e -a^{3}x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Suma a^{2}by a -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Suma a^{2}c a -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Divide ambos lados entre ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Substitúe y por \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} en a^{2}x+b^{2}y=c. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Multiplica b^{2} por \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Resta \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} en ambos lados da ecuación.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Divide ambos lados entre a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$ax+by=c$$

Resta by en ambos lados da ecuación.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Divide ambos lados entre a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

Multiplica \frac{1}{a} por -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Substitúe x por \frac{-by+c}{a} na outra ecuación, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

Multiplica a^{2} por \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

Suma -bay a b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Resta ca en ambos lados da ecuación.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Divide ambos lados entre b\left(-a+b\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Substitúe y por \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} en x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Multiplica -\frac{b}{a} por \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

Suma \frac{c}{a} a -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Para que ax e a^{2}x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por a^{2} e todos os termos a cada lado da segunda por a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Simplifica.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Resta a^{3}x+ab^{2}y=ac de a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Suma a^{3}x a -a^{3}x. a^{3}x e -a^{3}x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

Suma a^{2}by a -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

Suma a^{2}c a -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Divide ambos lados entre ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

Substitúe y por \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} en a^{2}x+b^{2}y=c. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

Multiplica b^{2} por \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Resta \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} en ambos lados da ecuación.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Divide ambos lados entre a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$