Resolver {l}{adiv4-12=b}{adiv5=b}

$$\left. \begin{array} { l } { a \div 4 - 12 = b } \\ { a \div 5 = b } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=240$$

$$b=48$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$a-4b=48$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta b en ambos lados.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$a-5b=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a-4b=48$$

Suma 4b en ambos lados da ecuación.

$$a=4b+48$$

Substitúe a por 48+4b na outra ecuación, a-5b=0.

$$4b+48-5b=0$$

Suma 4b a -5b.

$$-b+48=0$$

Resta 48 en ambos lados da ecuación.

$$-b=-48$$

Divide ambos lados entre -1.

$$b=48$$

Substitúe b por 48 en a=4b+48. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=4\times 48+48$$

Multiplica 4 por 48.

$$a=192+48$$

Suma 48 a 192.

$$a=240$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=240,b=48$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$a-4b=48$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta b en ambos lados.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$a-5b=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 48\\48\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\48\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=240,b=48$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta b en ambos lados.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$a-4b=48$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta b en ambos lados.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$a-5b=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

Resta a-5b=0 de a-4b=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-a-4b+5b=48$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4b+5b=48$$

Suma -4b a 5b.

$$b=48$$

Substitúe b por 48 en a-5b=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-5\times 48=0$$

Multiplica -5 por 48.

$$a-240=0$$

Suma 240 en ambos lados da ecuación.

$$a=240$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=240,b=48$$